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取整函数的极限问题
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发布时间:2019-03-06

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  1. I = lim ⁡ x → 0 x [ 10 x ] I=\lim \limits_{x \rightarrow 0}x\left[\frac{10}{x}\right] I=x0limx[x10],其中 [ ] [] []为取整符号

解析:根据 x − 1 < [ x ] ⩽ x x-1<[x] \leqslant x x1<[x]x,有

10 x − 1 < [ 10 x ] ⩽ 10 x \frac{10}{x}-1<\left[\frac{10}{x}\right] \leqslant \frac{10}{x} x101<[x10]x10
于是
{ x > 0 ⇒ 10 − x < x ⋅ [ 10 x ] ⩽ 10 x < 0 ⇒ 10 − x > x ⋅ [ 10 x ] ⩾ 10 \left\{\begin{array}{l} {x>0 \Rightarrow 10-x<x \cdot\left[\frac{10}{x}\right] \leqslant 10} \\ {x<0 \Rightarrow 10-x>x \cdot\left[\frac{10}{x}\right] \geqslant 10} \end{array}\right. {
x>010x<x[x10]10x<010x>x[x10]10
故可得 I = lim ⁡ x → 0 [ 10 x ] = 10 I=\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\frac{10}{x}\right]=10 I=x0lim[x10]=10

  1. x = 1 n ( n = 2 , 3 , ⋯   ) x=\frac{1}{n}(n=2,3, \cdots) x=n1(n=2,3,)是函数 f ( x ) = x ⋅ [ 1 x ] f(x)=x \cdot\left[\frac{1}{x}\right] f(x)=x[x1]的().
    A.无穷间断点
    B.跳跃间断点
    C.可去间断点
    D.连续间断点

解析:当 x → ( 1 n ) − x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)^{-} x(n1),有:

1 n + 1 < x < 1 n , n < 1 x < n + 1 \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n}, \quad n<\frac{1}{x}<n+1 n+11<x<n1,n<x1<n+1
[ 1 n ] = n [\frac{1}{n}]=n [n1]=n,所以
lim ⁡ x → ( 1 n ) − f ( x ) = lim ⁡ x → ( 1 n ) x ⋅ [ 1 x ] = 1 \lim _{x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)} x \cdot\left[\frac{1}{x}\right]=1 x(n1)limf(x)=x(n1)limx[x1]=1
x → ( 1 n ) + x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)^{+} x(n1)+,有 1 n < x < 1 n − 1 , n − 1 < 1 x < n \frac{1}{n}<x<\frac{1}{n-1}, n-1<\frac{1}{x}<n n1<x<n11,n1<x1<n,故 [ 1 n ] = n − 1 [\frac{1}{n}]=n-1 [n1]=n1,所以
lim ⁡ x → ( 1 n ) + f ( x ) = lim ⁡ x → ( 1 n ) + x ⋅ [ 1 x ] = n − 1 n < 1 \lim _{x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{1}{n}\right)^{+}} x \cdot\left[\frac{1}{x}\right]=\frac{n-1}{n}<1 x(n1)+limf(x)=x(n1)+limx[x1]=nn1<1
x = 1 n ( n = 2 , 3 , ⋯   ) x=\frac{1}{n}(n=2,3, \cdots) x=n1(n=2,3,) f ( x ) f(x) f(x)的跳跃间断点,所以B正确。

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